Mae damcaniaeth tebygolrwydd. Tebygolrwydd digwyddiad, digwyddiadau achlysurol (theori tebygolrwydd). datblygiadau annibynnol ac yn anghydnaws yn y theori tebygolrwydd

Mae'n annhebygol bod llawer o bobl yn meddwl ei bod yn bosibl i gyfrif digwyddiadau, a oedd i ryw raddau damweiniol. I'w roi mewn geiriau syml, a yw'n realistig i wybod a fydd yn ochr y ciwb yn y dis yn disgyn tro nesaf. Roedd y cwestiwn hwn i ofyn dau wyddonydd gwych, gosod y sylfaen ar gyfer gwyddoniaeth hwn, theori tebygolrwydd, y tebygolrwydd y digwyddiad y mae'r astudiwyd yn ddigon helaeth.

genhedlaeth

Os byddwch yn ceisio diffinio cysyniad megis theori tebygolrwydd, rydym yn cael y canlynol: mae hyn yn un o ganghennau o fathemateg sy'n astudio'r chysondeb o ddigwyddiadau hap. Yn amlwg, mae'r cysyniad hwn ddim wir yn datgelu hanfod, felly mae angen i chi ei ystyried yn fwy manwl.

Hoffwn ddechrau gyda sylfaenwyr y theori. Fel y soniwyd uchod, roedd dau, fod Per Ferma a Blez Paskal. Nhw oedd y cyntaf ymgais gan ddefnyddio fformiwlâu a cyfrifiadau mathemategol i gyfrifo canlyniad digwyddiad. Yn gyffredinol, mae'r elfennau o wyddoniaeth hon hyd yn oed yn yr Oesoedd Canol. Er bod nifer o feddylwyr a gwyddonwyr wedi ceisio dadansoddi'r gemau casino megis roulette, craps, ac yn y blaen, a thrwy hynny i sefydlu patrwm, a chanran y colli nifer. Mae'r sefydliad hefyd osodwyd yn y bedwaredd ganrif ar bymtheg roedd ysgolheigion uchod.

I ddechrau, nid oedd eu gwaith yn cael ei briodoli i'r llwyddiannau mawr yn y maes hwn, wedi'r cyfan, yr hyn a wnaethant, maent yn syml ffeithiau ac arbrofion empirig yn amlwg heb ddefnyddio fformiwlâu. Dros amser, mae'n troi i gyflawni canlyniadau gwych, a ymddangosodd o ganlyniad i arsylwi y cast yr esgyrn. Mae'n cael ei offeryn hwn wedi helpu i ddod â'r fformiwla wahanol cyntaf.

cefnogwyr

Heb sôn dyn fel Huygens Christiaan, yn y broses o astudio'r pwnc sy'n dwyn yr enw "theori tebygolrwydd" (tebygolrwydd y digwyddiad yn tynnu sylw at ei mewn gwyddoniaeth hwn). Mae'r person hwn yn ddiddorol iawn. Ef, yn ogystal â gwyddonwyr a gyflwynir uchod yn cael eu rhoi ar brawf yn y ffurf fformiwlâu mathemategol i ddiddwytho patrwm o ddigwyddiadau hap. Mae'n werth nodi nad oedd yn ei rannu gyda Pascal a Fermat, nid yw hynny'n ei holl waith yn gorgyffwrdd ag meddyliau hynny. deillio Huygens cysyniadau sylfaenol o ddamcaniaeth tebygolrwydd.

Un ffaith ddiddorol yw bod ei waith yn dod ymhell cyn y canlyniadau weithiau arloeswyr, i fod yn fanwl gywir, ugain mlynedd ynghynt. Dim ond ymhlith y cysyniadau a nodwyd oedd:

• gan fod y cysyniad o werthoedd tebygolrwydd siawns;
• disgwyliad am yr achos ar wahân;
• theoremau o adio a lluosi tebygolrwyddau.

Hefyd, ni all un anghofio Yakoba Bernulli, sydd hefyd yn cyfrannu at yr astudiaeth y broblem. Trwy eu hunain, naill na'r llall ohonynt yn brofion annibynnol, roedd yn gallu darparu prawf y gyfraith o rifau mawr. Yn ei dro, mae gwyddonwyr Poisson a Laplace, a oedd yn gweithio yn gynnar yn y bedwaredd ganrif ar bymtheg, yn gallu profi y theorem gwreiddiol. O'r eiliad honno i ddadansoddi gwallau yn y sylwadau i ni ddechrau defnyddio damcaniaeth tebygolrwydd. Gallai Parti gwmpas wyddoniaeth hon nid a Rwsieg gwyddonwyr, yn hytrach Markov, Chebyshev a Dyapunov. Maent yn seiliedig ar y gwaith a wnaed geniuses mawr, sicrhaodd y pwnc fel cangen o fathemateg. Buom yn gweithio ffigurau hyn ar ddiwedd y bedwaredd ganrif ar bymtheg, a diolch i'w cyfraniad, wedi cael eu profi ffenomenau megis:

• nghyfraith niferoedd mawr;
• Theori o gadwyni Markov;
• Y theorem terfyn ganolog.

Felly, hanes y geni gwyddoniaeth a gyda'r prif personoliaethau a gyfrannodd ato, popeth yn fwy neu'n llai clir. Nawr mae'n amser i cnawd ar esgyrn yr holl ffeithiau.

cysyniadau sylfaenol

Cyn i chi gyffwrdd y dylai'r cyfreithiau a theoremau ddysgu'r cysyniadau sylfaenol o ddamcaniaeth tebygolrwydd. Digwyddiad mae'n eu meddiannu rhan amlwg. Mae'r pwnc hwn yn braidd helaeth, ond ni fydd yn gallu deall yr holl gweddill hebddo.

Digwyddiad mewn theori tebygolrwydd - mae'n Unrhyw set o ganlyniadau'r arbrawf. Cysyniadau o'r ffenomen hon nid oes digon. Felly, Lotman gwyddonydd sy'n gweithio yn y maes hwn, wedi mynegi bod yn yr achos hwn, rydym yn sôn am yr hyn "a ddigwyddodd, er na allai ddigwydd."

Digwyddiadau ar hap (theori tebygolrwydd yn rhoi sylw arbennig iddynt) - yn gysyniad sy'n cynnwys hollol unrhyw ffenomen cael y posibilrwydd i ddigwydd. Neu, i'r gwrthwyneb, y senario hon ni all ddigwydd yn y perfformiad o amrywiaeth o gyflyrau. Mae hefyd yn werth gwybod bod yn byw yn y cyfaint cyfan y ffenomena sy'n digwydd digwyddiadau yn unig ar hap. damcaniaeth tebygolrwydd yn awgrymu y gall yr holl amodau yn cael ei ailadrodd yn gyson. Mae'n eu hymddygiad wedi cael ei alw "brofiad" neu "prawf."

ddigwyddiad arwyddocaol - mae hyn yn ffenomen sydd yn gant y cant yn y prawf hwn yn digwydd. Yn unol â hynny, roedd y digwyddiad amhosibl - mae hyn yn rhywbeth nad yw'n digwydd.

Cyfuno parau Gweithredu (gonfensiynol achos A a B achos) yn ffenomen sy'n digwydd ar yr un pryd. Maent yn cael eu cyfeirio atynt fel AB.

Mae faint o barau o ddigwyddiadau A a B - C yw, mewn geiriau eraill, os bydd o leiaf un ohonynt yn (A neu B), byddwch yn cael C. Mae'r fformiwla ffenomenon a ddisgrifir yn cael ei ysgrifennu fel C = A + B.

datblygiadau anghydnaws yn y theori tebygolrwydd yn awgrymu bod y ddau achos yn annibynnol ar ei gilydd. Ar yr un pryd maent yn mewn unrhyw achos ni all ddigwydd. digwyddiadau ar y cyd mewn theori tebygolrwydd - mae'n eu antipode. Y goblygiad yw, os A digwyddodd, nid yw'n atal C.

Wrthwynebu'r digwyddiad (theori tebygolrwydd iddynt ystyried yn fanwl iawn), yn hawdd i'w deall. Mae'n well i ddelio â nhw mewn cymhariaeth. Maent yn cael eu bron yr un fath ag y datblygiadau anghydnaws yn y theori tebygolrwydd. Fodd bynnag, mae eu wahaniaeth yw y dylai un o luosogrwydd o ffenomenau mewn unrhyw achos yn digwydd.

digwyddiadau yr un mor debygol - camau hynny, y posibilrwydd o ailadrodd yn gyfartal. I'w gwneud yn glir, gallwch ddychmygu taflu ceiniog: colli un o'i ochrau yn colli un mor debygol eraill.

mae'n haws i ystyried yr enghraifft o ffafrio digwyddiad. Tybiwch mae pennod yn y bennod A. Y cyntaf - rholyn o yn marw gyda dyfodiad odrif, a'r ail - golwg y rhif pump ar y dis. Yna mae'n troi allan nad yw A yn V. hoff

Digwyddiadau Annibynnol mewn theori tebygolrwydd yn cael eu rhagamcanu yn unig ar ddau achlysur neu fwy ac yn cynnwys annibynnol ar unrhyw gamau o'r llall. Er enghraifft, A - yn golled tossing cynffonnau darn arian, a B - jack dostavanie o'r dec. Mae ganddynt digwyddiadau annibynnol mewn theori tebygolrwydd. O hyn o bryd, daeth yn amlwg.

digwyddiadau dibynnol mewn theori tebygolrwydd hefyd yn ganiataol yn unig ar gyfer eu set. Maent yn awgrymu dibyniaeth un ar y llall, hynny yw, gall y ffenomen yn digwydd yn unig yn yr achos pan A eisoes wedi digwydd neu, i'r gwrthwyneb, nid oedd yn digwydd pan fydd yn - y prif amod ar gyfer B.

Mae canlyniad yr arbrawf ar hap sy'n cynnwys elfen unigol - mae'n digwyddiadau elfennol. damcaniaeth tebygolrwydd dweud ei bod yn ffenomen sy'n cael ei wneud unwaith yn unig.

fformiwla sylfaenol

Felly, mae'r uchod yn cael eu hystyried y cysyniad o "digwyddiad", "theori tebygolrwydd", diffiniadau o dermau allweddol o wyddoniaeth hon yn cael ei roi hefyd. Nawr mae'n amser i ymgyfarwyddo â'r fformiwlâu pwysig. Mae'r ymadroddion yn cael eu cadarnhau fathemategol holl brif gysyniadau mewn pwnc mor anodd â theori tebygolrwydd. Tebygolrwydd digwyddiad ac yn chwarae rhan fawr.

Well i ddechrau gyda fformiwlâu sylfaenol Cyfuniadeg. A chyn i chi eu cychwyn, mae'n werth ystyried yr hyn ydyw.

Cyfuniadeg - yn bennaf yn gangen o fathemateg, mae wedi bod yn astudio nifer fawr o cyfanrifau, ac amryw o gyfnewidiadau y ddau niferoedd a'u helfennau, data amrywiol, ac ati, gan arwain at nifer o gyfuniadau ... Yn ychwanegol at y theori tebygolrwydd, y diwydiant hwn yn bwysig ar gyfer yr ystadegau, gwyddoniaeth gyfrifiadurol a cryptograffeg.

Felly, nawr gallwch symud ymlaen i gyflwyno eu hunain a'u fformiwlâu diffiniad.

Y cyntaf o'r rhain yw'r mynegiad ar gyfer y nifer o gyfnewidiadau, mae fel a ganlyn:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Hafaliad yn berthnasol yn unig yn yr achos os bydd yr elfennau yn wahanol yn unig yn y drefn y trefniant.

Nawr fformiwla lleoliad, mae'n edrych fel y bydd hyn yn cael ei ystyried:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Mae'r mynegiant yn berthnasol nid yn unig i'r unig elfen o leoliad gorchymyn, ond hefyd ei gyfansoddiad.

Y trydydd hafaliad cyfuniadeg, ac mae'n cael ei yr olaf, a elwir y fformiwla ar gyfer y nifer o gyfuniadau:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Cyfuniad o'r enw samplu, nad ydynt yn cael eu harchebu, yn y drefn honno, i gymhwyso a rheol hon.

Gyda daeth y fformiwlâu o cyfuniadeg i ddeall yn hawdd, gallwch yn awr yn mynd i'r diffiniad clasurol o debygolrwydd. Mae'n edrych fel ymadrodd hwn fel a ganlyn:

P (A) = m: n.

Yn y fformiwla hon, m - yn y nifer o amodau ffafriol i ddigwyddiad A, a n - nifer o ddigwyddiadau elfennol yn gyfartal ac yn hollol gyd.

Mae yna lawer o ymadroddion yn yr erthygl, ni fydd yn cael ei ystyried unrhyw beth ond yr effeithir arnynt fydd y rhai mwyaf pwysig megis, er enghraifft, y tebygolrwydd o ddigwyddiadau symiau:

P (A + B) = P (A) + P (B) - theorem hon ar gyfer ychwanegu ddigwyddiadau annibynnol ar ei gilydd;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ond dim ond ar gyfer ychwanegu gydnaws.

Y tebygolrwydd y gwaith y digwyddiad:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - theorem hon ar gyfer digwyddiadau annibynnol;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - ac mae hyn ar gyfer yr dibynnol.

rhestr a ddaeth i ben fformiwla digwyddiadau. Mae damcaniaeth tebygolrwydd dweud wrthym theorem Bayes, sy'n edrych fel hyn:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Yn y fformiwla hon, H _1, H _2, ..., H _n - yn set gyflawn o ddamcaniaethau.

Ar stop hwn, bydd cais samplau fformiwlâu awr yn cael eu hystyried ar gyfer tasgau penodol o arfer.

enghreifftiau

Os ydych yn astudio unrhyw gangen o fathemateg yn ofalus, nid yw'n heb ymarferion ac atebion enghreifftiol. A theori tebygolrwydd: digwyddiadau, enghreifftiau yma yn elfen annatod o gadarnhau cyfrifiadau gwyddonol.

Mae'r fformiwla ar gyfer y nifer o gyfnewidiadau

Er enghraifft, mewn dec cerdyn wedi deg ar hugain o gardiau, gan ddechrau gyda'r un enw. cwestiwn nesaf. Sawl ffordd i blygu y dec fel nad yw'r cardiau gyda gwerth wyneb un a dau wedi eu lleoli nesaf?

Mae'r dasg wedi ei osod, nawr gadewch i ni symud ymlaen i ddelio ag ef. Yn gyntaf bydd angen i chi benderfynu ar y nifer o gyfnewidiadau o dri deg elfen, at y diben hwn rydym yn cymryd y fformiwla uchod, mae'n troi P_30 = 30!.

Yn seiliedig ar y rheol hon, rydym yn gwybod faint o opsiynau sydd ar gael i osod i lawr y dec mewn sawl ffordd, ond mae'n rhaid i ni yn cael ei dynnu oddi wrthynt yw'r rhai y bydd y cerdyn cyntaf a'r ail yn nesaf. I wneud hyn, yn dechrau gyda amrywiad, pan fydd y cyntaf wedi ei leoli ar yr ail. Mae'n troi allan y gall y map cyntaf yn cymryd dau ddeg naw o leoedd - o'r cyntaf i'r hugain nawfed a'r ail gerdyn o'r ail i'r tri deg, yn troi seddi naw ar hugain i parau o gardiau. Yn ei dro, gall y eraill yn cymryd wyth ar hugain o seddi, ac mewn unrhyw drefn. Hynny yw, ar gyfer y ad-drefnu y cardiau wyth ar hugain wedi wyth ar hugain o opsiynau P_28 = 28!

Y canlyniad yw bod os ydym yn ystyried y penderfyniad, pan fydd y cerdyn cyntaf ar yr ail gyfle ychwanegol i gael 29 ⋅ 28! = 29!

Gan ddefnyddio'r un dull, mae angen i chi gyfrifo nifer o opsiynau diangen ar gyfer yr achos pan fydd y cerdyn cyntaf wedi ei leoli o dan yr ail. gael hefyd 29 ⋅ 28! = 29!

O hyn, mae'n dilyn bod yr opsiynau ychwanegol 2 ⋅ 29!, Tra bod y dull angenrheidiol o gasglu y dec 30! - 2 ⋅ 29!. Mae'n dal i fod yn unig i gyfrifo.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nawr mae angen i luosi ynghyd yr holl rifau 1-29, ac yna ar ddiwedd pob luosi â 28. Yr ateb a gafwyd 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Mae enghreifftiau o atebion. Mae'r fformiwla ar gyfer y nifer o lety

Yn y broblem hon, mae angen i chi gael gwybod faint o mae ffyrdd i roi'r bymtheg o gyfrolau ar silff, ond o dan yr amod mai dim ond deg ar hugain o gyfrolau.

Yn y dasg hon, mae'r penderfyniad ychydig yn haws na'r blaenorol. Gan ddefnyddio'r fformiwla eisoes yn hysbys, mae angen i gyfrifo cyfanswm nifer y deg ar hugain o leoliadau bymtheg o gyfrolau.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 16 843 204 931 727 360 000

Ymateb, yn y drefn honno, yn gyfartal i 843 204 202 931 727 360 000.

Nawr yn cymryd y dasg ychydig yn fwy anodd. Mae angen i chi wybod faint o mae ffyrdd i drefnu'r tri deg dau o lyfrau ar y silffoedd, ar yr amod mai dim ond pymtheg cyfrol byw ar yr un silff.

Cyn cychwyn y penderfyniad os hoffech egluro y gall rhai o'r problemau yn cael eu datrys mewn sawl ffordd, ac yn hyn o mae dwy ffordd, ond yn y ddau un ac mae'r un fformiwla yn cael ei gymhwyso.

Yn y dasg hon, gallwch gymryd yr ateb i'r un blaenorol, gan nad ydym wedi cyfrifo y nifer o weithiau y gallwch lenwi'r y silff am bymtheg o lyfrau mewn ffyrdd gwahanol. Mae'n troi A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Mae'r ail gatrawd a gyfrifir gan y fformiwla ad-drefnu, gan ei fod yn cael ei roi pymtheg o lyfrau, tra bod y gweddill bymtheg. Rydym yn defnyddio P_15 fformiwla = 15!.

Mae'n ymddangos bod y swm a fydd A_30 ^ 15 ⋅ P_15 ffyrdd, ond, yn ogystal, byddai cynnyrch yr holl rifau 30-16 yn cael ei luosi gan y cynnyrch y rhifau o un i bymtheg, yn y pen draw troi allan y cynnyrch yr holl rifau 1-30, dyna'r ateb yw 30!

Ond gall y broblem hon ei datrys mewn ffordd wahanol - haws. I wneud hyn, gallwch ddychmygu bod yna un silff am dri deg o lyfrau. Mae pob un ohonynt yn cael eu rhoi ar awyren hon, ond oherwydd bod y cyflwr yn gofyn bod dau silffoedd, un hir yr ydym yn llifio yn ei hanner, dau tro bymtheg. O hyn, mae'n troi allan y gall am y trefniant hwn yn P_30 = 30!.

Mae enghreifftiau o atebion. Mae'r fformiwla ar gyfer y nifer o gyfuniadau o

Pwy sy'n cael ei ystyried yn amrywiad ar y trydydd broblem Cyfuniadeg. Mae angen i chi wybod faint o ffyrdd mae trefnu bymtheg o lyfrau ar yr amod bod rhaid i chi ddewis o dri deg union yr un fath.

Dros y penderfyniad, bydd, wrth gwrs, yn gwneud cais y fformiwla ar gyfer y nifer o gyfuniadau. O'r cyflwr fod yn dod yn amlwg nad oedd y drefn yr un fath bymtheg o lyfrau yn bwysig. Felly i ddechrau mae angen i chi gael gwybod cyfanswm nifer y cyfuniadau o dri deg pymtheg lyfrau.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Dyna i gyd. Gan ddefnyddio'r fformiwla hon, yn yr amser byrraf posibl i ddatrys problem o'r fath, yr ateb, yn y drefn honno, sy'n hafal i 155,117,520.

Mae enghreifftiau o atebion. Mae'r diffiniad clasurol o debygolrwydd

Gan ddefnyddio'r fformiwla a roddir uchod, gall un ddod o hyd i ateb yn dasg syml. Ond bydd yn gweld yn glir ac yn dilyn y camau gweithredu.

Mae'r dasg o ystyried bod mewn wrn mae deg peli hollol debyg. O'r rhain, pedwar melyn a chwe glas. Cymerwyd o wrn un bêl. Mae'n angenrheidiol i adnabod y tebygolrwydd dostavaniya glas.

I ddatrys y broblem, mae angen dynodi dostavanie digwyddiad pêl glas A. Gall y profiad hwn wedi deg canlyniad, sydd, yn ei dro, elfennol a yr un mor debygol. Ar yr un pryd, roedd chwech o'r deg yn ffafriol i'r digwyddiad A. Datryswch y fformiwla ganlynol:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Gwneud cais fformiwla hon, rydym wedi dysgu bod y posibilrwydd dostavaniya bêl glas yw 0.6.

Mae enghreifftiau o atebion. Mae'r tebygolrwydd o swm ddigwyddiadau

Pwy fydd yn amrywiad sy'n cael ei datrys trwy ddefnyddio'r fformiwla tebygolrwydd o swm digwyddiadau. Felly, o ystyried y cyflwr fod yna ddau achos, yr un cyntaf yw pum peli gwyn llwyd a, tra bod yr ail - wyth llwyd a phedwar peli gwyn. O ganlyniad, y blychau cyntaf a'r ail wedi cymryd ar un ohonynt. Mae'n angenrheidiol i gael gwybod beth yw'r siawns y brin y peli yn llwyd a gwyn.

I ddatrys y broblem hon, mae angen i nodi'r digwyddiad.

• Felly, A - mae gennym pêl llwyd o'r bocs cyntaf: P (A) = 1/6.
• A '- bwlb gwyn a gymerwyd hefyd oddi wrth y blwch cyntaf: P (A') = 5/6.
• Y - echdynnu eisoes pêl llwyd yr ail sianel: P (B) = 2/3.
• B '- cymerodd pêl llwyd yr ail drôr: P (B') = 1/3.

Yn ôl at y broblem, mae angen bod un o'r ffenomenau ddigwyddodd: AB 'neu' B. Gan ddefnyddio'r fformiwla, rydym yn cael: P (AB) = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Nawr bod y fformiwla o luosi'r tebygolrwydd yn cael ei ddefnyddio. Nesaf, i gael gwybod yr ateb, mae angen i chi gymhwyso eu hafaliad gan ychwanegu:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB) + P (A'B) = 11/18.

Dyna sut, gan ddefnyddio'r fformiwla, gallwch ddatrys problemau o'r fath.

canlyniad

Cyflwynwyd y papur i'r wybodaeth ar "theori tebygolrwydd", y tebygolrwydd o ddigwyddiadau sy'n chwarae rhan bwysig. Wrth gwrs, nid yw popeth wedi cael ei ystyried, ond ar sail y testun a gyflwynwyd, gallwch ddamcaniaethol gael gyfarwydd â gangen hon o fathemateg. gall gwyddoniaeth ei ystyried yn ddefnyddiol, nid yn unig yn y busnes proffesiynol, ond hefyd mewn bywyd bob dydd. Gallwch ei ddefnyddio i gyfrifo unrhyw bosibilrwydd o ddigwyddiad.

Mae'r testun Effeithiwyd hefyd dyddiadau arwyddocaol yn hanes datblygiad damcaniaeth tebygolrwydd fel gwyddoniaeth, ac enwau'r bobl y mae eu gwaith wedi ei roi i mewn iddo. Dyna sut mae chwilfrydedd dynol wedi arwain at y ffaith bod pobl wedi dysgu i gyfrif, hyd yn oed digwyddiadau ar hap. Unwaith y byddant yn unig ddiddordeb yn hyn, ond heddiw mae eisoes yn hysbys i bawb. Ac ni all neb ddweud beth fydd yn digwydd i ni yn y dyfodol, pa darganfyddiadau gwych eraill sy'n gysylltiedig â'r ddamcaniaeth dan sylw, yn cael ei chyflawni. Ond mae un peth yn sicr - yr astudiaeth yn dal yn werth yr ymdrech!