Polyhedra Rheolaidd: Elfennau cymesuredd ac ardal

Geometreg yn hardd oherwydd, yn wahanol algebra, ac nid yw bob amser yn glir pam a beth yw eich barn, yn rhoi gwrthrych gweledol. Mae'r byd rhyfeddol o amrywiol gyrff yn addurno polyhedra rheolaidd.

Gwybodaeth gyffredinol am polyhedra rheolaidd

Yn ôl i lawer o polyhedrons, rheolaidd, neu fel y maent yn cael eu galw'n solidau Platonic, yn meddu ar nodweddion unigryw. Gyda gwrthrychau hyn gysylltu nifer o ddamcaniaethau gwyddonol. Pan fyddwch yn dechrau astudio data geometrig y corff, byddwch yn sylweddoli nad yw bron yn gwybod unrhyw beth am gysyniad megis y polyhedra rheolaidd. Nid yw cyflwyniad y gwrthrychau hyn yn yr ysgol bob amser yn ddiddorol, felly nid yw llawer yn hyd yn oed yn cofio yr hyn y maent yn eu galw. Er cof am y rhan fwyaf o bobl mae'n yn unig yw ciwb. Nid yw Nid yw'r un o'r geometreg corff yn meddu ar y fath berffeithrwydd fel polyhedrons rheolaidd. Mae'r holl enwau'r cyrff geometrig hyn yn tarddu o Wlad Groeg hynafol. Maent yn cynrychioli nifer y wynebau: y tetrahedron - pedair ochr, hexahedron - Allen, octahedron - octagon, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Mae'r rhain i gyd corff geometrig yn meddiannu lle pwysig yn y syniad Plato y bydysawd. Mae pedwar ohonynt yn cael eu hymgorffori elfennau neu endidau: y tetrahedron - y tân, y icosahedron - ciwb dŵr - pridd, octahedron - awyr. Dodecahedron ymgorfforir pob peth. Cafodd ei ystyried y prif, fel symbol o'r bydysawd.

Mae cyffredinoli cysyniad o polyhedron

Polyhedron yn gasgliad cyfyngedig o bolygonau fel bod:

• pob un o ochrau'r unrhyw un o'r polygonau ar yr un pryd dim ond un ochr o polygon arall ar yr un ochr;
• o bob un o'r polygonau gallwch gerdded i'r llall drwy basio gerllaw hynny polygonau.

Polygonau ffurfio'r polyhedron cynrychioli ei wynebau a'u sgîl - asennau. fertigau polyhedra yw fertigau polygonau. Os bydd y term polygon deall polylines caeedig fflat, yna dewch i un diffiniad o polyhedron. Yn yr achos lle gan y term hwn a olygir yn rhan o'r plân sydd wedi'i ffinio gan linellau torri, bydd yn cael ei deall yn wyneb sy'n cynnwys darnau amlochrog. Gelwir polyhedron amgrwm yn y corff yn gorwedd ar un ochr yr awyren, yn gyfagos at ei hwynebau.

diffiniad arall o polyhedron a'i elfennau

Gelwir polyhedron wyneb sy'n cynnwys polygonau, sy'n cyfyngu ar y corff geometrig. Y rhain yw:

• nad ydynt yn amgrwm;
• amgrwm (da a drwg).

polyhedron rheolaidd - yn polyhedron amgrwm gyda chymesuredd mwyaf posibl. Elfennau o polyhedra rheolaidd:

• Tetrahedron: 6 asennau 4 wynebau 5 fertigau;
• hexahedron (ciwb) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

theorem Euler yn

Mae'n sefydlu perthynas rhwng nifer yr ymylon, fertigau ac wynebau yn topologically gyfwerth â sffêr. Ychwanegu nifer y fertigau ac wynebau (B + D) yn cael polyhedra rheolaidd gwahanol a'u cymharu â nifer y asennau, mae'n bosibl gosod un rheol: y swm o nifer o wynebau hafal i nifer y fertigau ac ymylon (P) cynnydd o 2. Mae'n bosibl deillio fformiwla syml:

• B + D = P + 2.

Mae'r fformiwla yn ddilys ar gyfer yr holl polyhedra amgrwm.

diffiniadau sylfaenol

Mae'r cysyniad o polyhedron rheolaidd yn amhosibl i ddisgrifio mewn un frawddeg. Mae'n fwy gwerthfawr a chyfaint. Mae corff i gael ei gydnabod fel y cyfryw, mae angen fod yn cwrdd â nifer o ddiffiniadau. Felly, bydd corff geometrig yn polyhedron rheolaidd pan amodau hyn yn cael eu bodloni:

• mae'n amgrwm;
• yr un nifer o asennau yn cydgyfeirio ym mhob un o'i fertigau;
• pob agwedd o'i - polygonau rheolaidd, sy'n hafal i'w gilydd;
• Mae'r holl onglau dihedral yn gyfartal.

Priodweddau polyhedra rheolaidd

Mae 5 gwahanol fath o polyhedra rheolaidd:

1. Cube (hexahedron) - mae ganddo ongl apex fflat yn 90 °. Mae ganddo ongl 3 unochrog. Swm wyneb onglau ar frig 270 °.
2. Tetrahedron - ongl frig gwastad - 60 °. Mae ganddo ongl 3 unochrog. Swm wyneb onglau ar frig - 180 °.
3. Octahedron - ongl frig gwastad - 60 °. Mae ganddo ongl pedair ochr. Swm wyneb onglau ar frig - 240 °.
4. Dodecahedron - ongl frig fflat o 108 °. Mae ganddo ongl 3 unochrog. Swm wyneb onglau ar frig - 324 °.
5. Icosahedron - mae ganddo ongl frig gwastad - 60 °. Mae ganddo ongl bum unochrog. Swm wyneb onglau ar frig 300 °.

Mae'r ardal o polyhedra rheolaidd

Mae arwynebedd y cyrff geometregol (S) yn cael ei gyfrifo fel ardal polygon rheolaidd luosi gan y nifer o agweddau (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Mae nifer o polyhedron rheolaidd

Mae'r gwerth yn cael ei gyfrifo drwy luosi nifer y pyramid rheolaidd y mae ei sylfaen yn polygon rheolaidd, nifer yr wynebau, ac mae ei uchder yn y radiws arysgrif y cylch (r):

• V = 1: 3A.

Cyfrolau o polyhedra rheolaidd

Fel unrhyw polyhedra eraill geometrig cadarn, rheolaidd gwahanol gyfrolau. Isod mae fformiwlâu y gallant gyfrifo:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (ciwb): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elfennau polyhedra rheolaidd

Hexahedron a octahedron yn gyrff geometrig deuol. Mewn geiriau eraill, efallai y byddant yn mynd allan o'i gilydd yn y digwyddiad y ceir craidd yr un yn cael ei gymryd fel y ben y llall, ac i'r gwrthwyneb. Hefyd yn icosahedron deuol a dodecahedron. Ei hun yn unig tetrahedron yn ddeuol. Gall Yn ôl y dull o Euclid ar gael o hexahedron dodecahedron drwy adeiladu "toeau" ar y wynebau y ciwb. Mae fertigau y tetrahedron unrhyw 4 fertigau ciwb, nid yw parau cyfagos ar hyd yr ymyl. O hexahedron (ciwb) ar gael, ac polyhedra rheolaidd eraill. Er gwaethaf y ffaith bod polygonau rheolaidd yna di-rif, polyhedra rheolaidd, dim ond 5.

Mae radiws polygonau rheolaidd

Gyda phob un o'r cyrff hyn yn geometrig sfferau consentrig cysylltiedig 3:

• Disgrifiodd sy'n mynd drwy'r fertigau;
• arysgrifenedig ynghylch pob un o'i wynebau yn ei chanol hi;
• canolrif am yr holl ymylon yn y canol.

Mae radiws y sffêr a ddisgrifiwyd gan y fformiwla ganlynol yn cael ei gyfrifo:

• R = a: 2 x TG π / g x TG θ: 2.

Mae radiws y cylch arysgrif ei gyfrifo fel a ganlyn:

• R = a: 2 x CTG π / p x TG θ: 2,

lle mae θ - ongl dihedral sydd rhwng agweddau cyfagos.

Gall y radiws canolrif y maes yn cael ei gyfrifo gan ddefnyddio'r fformiwla ganlynol:

• ρ = π yn cos / p: 2 sin π / h,

lle mae h = maint 4.6, 6.10, neu 10. Mae'r gymhareb o radiws y disgrifir arysgrifedig ac gymesur o ran p a q. Mae'n cael ei gyfrifo fel a ganlyn:

• R / r = TG π / p x TG π / q.

Mae cymesuredd polyhedra

Mae cymesuredd y polyhedra rheolaidd o ddiddordeb cynradd i gyrff geometrig hyn. Deellir fel symudiad y corff yn y gofod, sy'n gadael yr un nifer o fertigau, wynebau ac ymylon. Mewn geiriau eraill, o dan ddylanwad gymesuredd drawsnewidiadau ymyl, fertig, neu wyneb yn cadw ei safle gwreiddiol, neu symud i swydd gartref asen arall, y fertigau neu wynebau eraill.

Elfennau o gymesuredd y polyhedra rheolaidd yn gyffredin i bob math o solidau geometrig. Yma, mae'n cael ei gynnal ar y trawsnewid hunaniaeth, sy'n gadael unrhyw un o'r pwyntiau yn y safle gwreiddiol. Felly, pan fyddwch yn troi gall y prism amlochrog gael rhywfaint cymesureddau. Gall unrhyw un ohonynt yn cael ei gynrychioli fel y cynnyrch o fyfyrio. Cymesuredd, sef y cynnyrch hyd yn oed nifer o fyfyrdodau, a elwir yn uniongyrchol. Os yw'n gynnyrch odrif o fyfyrdodau, yna fe'i gelwir yn adborth. Felly, mae'r holl tro o amgylch y llinell yn cynrychioli cymesuredd syth. Unrhyw polyhedron myfyrio - yw'r cymesuredd gwrthdro.

Er mwyn deall yr elfennau cymesuredd y polyhedra rheolaidd yn well, gallwch gymryd yr enghraifft y tetrahedron. Unrhyw linell a fydd yn pasio trwy un o'r fertigau a'r canol y siâp geometrig, yn cael ei gynnal, a thrwy ganol ymyl gyferbyn ag ef. Mae pob un o'r troeon 120 a 240 ° o amgylch y llinell yn perthyn i'r cymesuredd tetrahedrol lluosog. Gan ei fod 4 fertigau ac wynebau, rydym yn cael cyfanswm o wyth cymesureddau uniongyrchol. Unrhyw un o'r llinellau pasio trwy ganol yr ymylon a ganol y corff, mae'n mynd drwy ganol yr ymyl gyferbyn. Unrhyw cylchdroi 180 °, a elwir yn hanner-dro o amgylch cymesuredd yn syth. Gan fod gan y tetrahedron tri phâr o asennau, byddwch yn cael tair llinell cymesuredd. Yn seiliedig ar yr uchod, gallwn ddod i'r casgliad bod cyfanswm nifer y cymesuredd uniongyrchol, ac yn cynnwys y trawsnewid hunaniaeth, bydd hyd at ddeuddeg. Nid Arall tetrahedron cymesuredd uniongyrchol yn bodoli, ond mae ganddo 12 o gymesuredd gwrthdro. O ganlyniad, dim ond 24 cymesureddau tetrahedron nodweddu. Er mwyn eglurder, gallwn adeiladu model o tetrahedron rheolaidd a wneir o gardbord a gwneud yn siŵr ei bod yn wir yn y corff geometrig dim ond 24 cymesuredd.

Dodecahedron a icosahedron - sydd agosaf at yr ardal y corff. Mae gan icosahedron y nifer fwyaf o wynebau, yr ongl dihedral a gall y rhan fwyaf o'r holl cling dynn at y cylch arysgrif. Mae gan dodecahedron y nam ongl solet mwyaf onglog isaf yn y fertig. Gall wneud y gorau i lenwi'r maes circumscribed.

polyhedra sganio

sgan polyhedra rheolaidd, yr ydym oll yn glynu at ei gilydd mewn plentyndod, yn cael llawer o gysyniadau. Os oes set o bolygonau, bob ochr a nodir gyda dim ond un ochr o'r polyhedron, rhaid nodi y partïon yn cydymffurfio â dau amod:

• bob polygon, gallwch fynd i polygon gael adnabod yr ochr;
• Dylai ochr adnabyddadwy gael yr un hyd.

Mae'n set o bolygonau sy'n bodloni'r amodau hyn, ac fe'i gelwir sgan polyhedron. Mae pob un o'r cyrff hyn wedi nifer ohonynt. Er enghraifft, ciwb o'r rhain mae 11 o ddarnau.