Dilyniant geometrig a'i nodweddion

dilyniant geometrig yn bwysig mewn mathemateg fel gwyddoniaeth, ac arwyddocâd cymhwyso, gan ei fod ganddo gwmpas eang iawn, hyd yn oed yn y mathemateg uwch, er enghraifft, yn y theori gyfres. Daeth y wybodaeth gyntaf am y cynnydd i ni o'r Aifft hynafol, yn enwedig ar ffurf problem adnabyddus o'r papyrus Rhind saith o bobl gyda saith chathod. Mae amrywiadau o'r dasg hon yn cael ei ailadrodd nifer o weithiau ar wahanol adegau o genhedloedd eraill. Hyd yn oed y Velikiy Leonardo Pizansky, a elwir yn Fibonacci (XIII c.), Siarad â hi yn ei "Llyfr y Abacus."

Felly sydd â hanes hynafol y dilyniant geometrig. Mae'n cynrychioli dilyniant rhifiadol gydag aelod cyntaf nonzero, ac mae pob dilynol, gan ddechrau gyda'r ail yn cael ei bennu drwy luosi'r fformiwla eto blaenorol mewn nifer cyson, nonzero sy'n cael ei alw'n dilyniant enwadur (ei ddynodi fel arfer gan ddefnyddio'r llythyr q).
Yn amlwg, gellir dod o hyd drwy rannu pob tymor dilynol y dilyniant i'r blaenorol, hy z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... O ganlyniad, am y rhan fwyaf dilyniant swydd (Zn) digon o fod yn gwybod gwerth y tymor cyntaf y enwadur a'r y 1 q.

Er enghraifft, gadewch z 1 = 7, q = - 4 (q <0), yna bydd y dilyniant geometrig canlynol yn cael ei sicrhau 7 - 28, 112-448, .... Fel y gwelwch, nid yw'r dilyniant deillio o hyn yn undonog.

Dwyn i gof bod dilyniant mympwyol o undonog (cynyddu / gostwng) pan fo un o'i aelodau yn dilyn mwy / llai na'r un blaenorol. Er enghraifft, y dilyniant 2, 5, 9, ..., a -10, -100, -1000, ... - undonog, yr ail un - dilyniant geometrig lleihau.

Yn yr achos lle q = 1, yn cael eu canfod bob aelod i fod, ac mae'n cael ei alw'n y cynnydd cyson.

Mae'r dilyniant yn y dilyniant o'r math hwn, rhaid iddo fodloni'r amod angenrheidiol a digonol canlynol, sef: gan ddechrau o'r ail, dylai pob un o'i aelodau fod y cymedr geometrig yr aelodau cyfagos.

eiddo hwn yn caniatáu o dan rai dau canfyddiad cyfagos dilyniant tymor mympwyol.

n-fed term gynt a chynt yn hawdd dod o hyd gan y fformiwla: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z gan wybod aelod cyntaf 1 a'r enwadur q.

Ers y rhif dilyniant wedi swm, yna ychydig o cyfrifiadau syml yn rhoi fformiwla i gyfrifo swm y cynnydd cyntaf o aelodau, sef ni:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Amnewid, yn y fformiwla ei werth mynegiant z Zn 1 * q ^ (n-1) i gael ail fformiwla swm y dilyniant: S n = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Yn deilwng o sylw y ffaith ddiddorol canlynol: y dabled clai a geir mewn cloddiadau Babilon hynafol, sy'n cyfeirio at y VI. CC, yn cynnwys ffordd ryfeddol y swm o 1 + 2 + ... + Nid yw 22 + 29 yn hafal i 2 i'r minws pŵer degfed 1. esboniad o'r ffenomen hon wedi ei ddarganfod eto.

Rydym yn nodi un o briodweddau dilyniant geometrig - gwaith cyson o'i aelodau, wedi'u gwasgaru'n gyfartal ar bellteroedd o eithafoedd y dilyniant.

O bwys arbennig o bwynt gwyddonol o farn, y fath beth fel dilyniant geometrig anfeidrol a chyfrifo ei swm. Gan dybio bod (in) - dilyniant geometrig cael enwadur q, boddhaol cyflwr | q | <1, faint fydd yn cael ei gyfeirio at y terfyn tuag yr ydym eisoes yn gwybod y swm ei aelodau cyntaf, gyda chynnydd diderfyn o n, yna mae'n rhaid arno agosáu anfeidredd.

Dod o hyd i swm hwn o ganlyniad i ddefnyddio'r fformiwla:

S n = y 1 / (1- q).

Ac, fel y mae profiad wedi dangos, ar gyfer y symlrwydd ymddangosiadol y dilyniant hwn ei guddio potensial gais enfawr. Er enghraifft, os byddwn yn adeiladu cyfres o sgwariau yn ôl y algorithm canlynol, cysylltu â'r canolbwyntiau yr un blaenorol, yna maent yn ffurfio dilyniant geometrig anfeidrol sgwâr cael enwadur 1/2. Mae'r ffurflen dilyniant un peth ac arwynebedd trionglau, a gafwyd yn ystod pob cam o adeiladu, ac mae ei swm yn hafal i arwynebedd y sgwâr gwreiddiol.