Polygonau amgrwm. Diffiniad o polygon amgrwm. Mae lletraws polygon amgrwm

Mae'r siapiau geometrig i gyd o'n cwmpas. polygonau Amgrwm yn naturiol, fel diliau mêl neu artiffisial (o waith dyn). Mae'r ffigurau hyn yn cael eu defnyddio i gynhyrchu gwahanol fathau o haenau mewn celf, pensaernïaeth, addurniadau, ac ati polygonau amgrwm yn cael yr eiddo fod eu pwyntiau yn gorwedd ar un ochr y llinell syth sy'n mynd drwy'r pâr o fertigau cyfagos o'r ffigur geometregol. Mae diffiniadau eraill. Fe'i gelwir y polygon amgrwm, sy'n cael ei drefnu mewn un hanner-awyren mewn perthynas ag unrhyw llinell syth sy'n cynnwys un o'i ochrau.

polygonau amgrwm

Yn ystod geometreg elfennol bob amser yn cael eu trin polygonau syml dros ben. Er mwyn deall y priodweddau siapiau geometrig mae angen i chi ddeall eu natur. Dechrau deall bod ar gau yn unrhyw linell y mae ei ben yr un fath. Ac mae'r ffigur a ffurfiwyd ganddo, gall gael amrywiaeth o ffurfweddau. cael ei alw'n Polygon Polylinell caeedig syml y mae ei unedau cyfagos yn cael eu lleoli ar un llinell syth. Ei chysylltiadau a nodau yn cael eu, yn y drefn honno, yr ochrau a'r gopaon y ffigur geometregol. Ni ddylai Polylinell syml croestorri ei hun.

Gelwir fertigau polygon yn cael eu cymdogion, rhag ofn eu bod yn dod i ben o un o'i ochrau. Mae ffigur geometrig, sydd â nifer n-fed o fertigau, ac felly y rhif n-fed o bartïon a elwir y n-gon. Hun llinell doredig yw'r terfyn neu gyfuchlin y ffigur geometrig. awyren amlochrog neu polygon fflat a elwir yn rhan olaf unrhyw awyren, eu gyfyngedig. ochrau cyfagos o ffigur geometrig a elwir segmentau Polylinell tarddu o'r un fertig. Ni fyddant yn gymdogion os ydynt yn seiliedig ar wahanol fertigau polygon.

diffiniadau eraill o bolygonau amgrwm

Yn geometreg elfennol, mae yna nifer o cyfatebol mewn diffiniadau ystyr, gan nodi yr hyn a elwir yn polygon amgrwm. Ar ben hynny, yr holl datganiadau hyn yr un mor wir. Mae polygon amgrwm yw'r un sydd wedi:

• pob segment sy'n cysylltu unrhyw ddau bwynt ynddo, yn gorwedd yn gyfan gwbl ar y rhestr;

• ynddo gorwedd ei holl lletraws;

• unrhyw ongl mewnol heb fod yn fwy na 180 °.

Polygon bob amser yn rhannu'r awyren yn ddwy ran. Mae un ohonynt - y cyfyngedig (gellir ei amgáu mewn cylch), a'r llall - anghyfyngedig. Gelwir y cyntaf yw y rhanbarth mewnol, a'r ail - yr ardal allanol y ffigur geometrig. Mae hyn yn y groesffordd y polygon (mewn geiriau eraill - cyfanswm y gydran) nifer o hanner-awyrennau. Felly, mae pob segment yn cael dod i ben mewn mannau sy'n perthyn i polygon yn gyfan gwbl yn perthyn iddo.

Amrywiaethau o bolygonau amgrwm

Nid yw Diffiniad polygon amgrwm yn nodi bod llawer o fathau ohonynt. Ac mae gan bob un ohonynt meini prawf penodol. Felly, mae'r polygonau amgrwm, sydd ongl mewnol o 180 °, y cyfeirir ato ychydig yn amgrwm. Mae'r ffigur geometrig amgrwm sydd wedi tri chopa ei alw, triongl, pedwar - pedrochr, pump - pentagon, ac ati Mae pob un o'r amgrwm n-gons yn bodloni'r gofynion pwysig canlynol: .. Rhaid N fod yn hafal i neu'n fwy na 3. Mae pob un o'r trionglau yn amgrwm. Mae'r ffigur geometrig o'r math hwn lle mae'r holl fertigau yn cael eu lleoli ar gylch, a elwir yn y cylch arysgrif. cael ei alw'n polygon amgrwm a ddisgrifir os yw ei bob ochr o amgylch cylch i gyffwrdd hi. Gelwir Mae dau polygonau yn gyfartal yn unig yn yr achos wrth ddefnyddio gall y droshaen yn cael eu cyfuno. polygon Fflat enw awyren onglog (cyfran awyren) bod y ffigwr geometrig cyfyngedig.

Polygonau Rheolaidd amgrwm

polygonau rheolaidd a elwir yn siapiau geometrig gyda onglau cyfartal ac ochrau. Y tu mewn iddyn nhw mae pwynt 0, sef yr un pellter oddi wrth bob un o'i fertigau. Fe'i gelwir yn y canol y ffigur geometregol. Llinellau cysylltu canol gyda fertigau y ffigur geometrig a elwir apothem, a'r rhai sy'n cysylltu'r pwynt 0 gyda'r partïon - radii.

Cywir petryal - sgwâr. Gelwir triongl hafalochrog yn hafalochrog. Ar gyfer siapiau o'r fath ceir y rheol ganlynol: pob ongl polygon amgrwm yn 180 ° * (n-2) / n,

lle mae n - nifer y fertigau y ffigur geometrig amgrwm.

Mae'r ardal o unrhyw polygon rheolaidd yn cael ei bennu gan y fformiwla:

S = p * h,

lle mae p yn hafal i hanner y swm o bob ochr o'r polygon, ac h yw'r apothem hyd.

Eiddo polygonau amgrwm

polygonau Amgrwm briodweddau penodol. Felly, y segment sy'n cysylltu unrhyw ddau bwynt o ffigwr geometrig, a leolir o angenrheidrwydd ynddo. prawf:

Tybiwch fod P - polygon amgrwm. Cymerwch ddau bwynt mympwyol, ee, A a B, a oedd yn perthyn i P. Erbyn diffiniad cyfredol o polygon amgrwm, pwyntiau hyn yn cael eu lleoli ar un ochr i'r llinell syth sy'n cynnwys unrhyw gyfarwyddyd O ganlyniad, mae gan AB R. eiddo hwn ac yn cael ei gynnwys yn R. A polygon amgrwm bob amser Gellir rhannu'n sawl drionglau hollol yr holl croeslinau, a oedd yn dal yn un o'i fertigau.

Onglau siapiau geometrig amgrwm

Mae'r onglau polygon amgrwm - yn onglau a ffurfir gan y partïon. corneli Y tu mewn yn yr ardal tu mewn i'r ffigur geometrig. Mae'r ongl sy'n cael ei ffurfio gan ei ochrau sy'n cydgyfarfod ar fertig, a elwir yn ongl y polygon amgrwm. Corners cyfagos i gorneli mewnol y ffigur geometregol, a elwir yn allanol. Mae pob cornel polygon amgrwm, a drefnwyd y tu mewn iddo, yw:

180 ° - x

lle mae x - gwerth y tu allan i gornel. Mae'r fformiwla syml yn berthnasol i unrhyw fath o siapiau geometrig fath.

Yn gyffredinol, ar gyfer corneli allanol yn bodoli yn dilyn rheol: pob ongl polygon amgrwm hafal i'r gwahaniaeth rhwng 180 ° a gwerth y ongl fewnol. Gall gael gwerthoedd yn amrywio o -180 ° i 180 °. O ganlyniad, pan fydd yr ongl fewnol yw 120 °, bydd ymddangosiad yn werth 60 °.

Mae swm onglau polygonau amgrwm

Mae'r cyfanswm onglau mewnol polygon amgrwm cael ei sefydlu gan y fformiwla:

180 ° * (n-2),

lle mae n - nifer y fertigau y n-gon.

Swm onglau polygon amgrwm cyfrifir yn syml. Ystyriwch unrhyw siâp geometrig fath. Er mwyn penderfynu swm y onglau mewn polygon amgrwm angen i gysylltu un o'i fertigau i fertigau eraill. O ganlyniad i'r camau hyn yn troi (n-2) y triongl. Mae'n hysbys bod y swm onglau unrhyw triongl yn 180 ° bob amser. Oherwydd bod eu rhif mewn unrhyw polygon hafal (n-2), mae'r swm onglau mewnol y ffigur hafal 180 ° x (n-2).

Swm corneli polygon amgrwm, sef, unrhyw ddau ongl mewnol ac allanol yn gyfagos iddynt, yn y ffigur geometrig amgrwm bob amser yn gyfartal i 180 °. Ar y sail hon, gallwn benderfynu ar y swm ei bob cwr:

180 x n.

Swm onglau mewnol yn 180 ° * (n-2). Yn unol â hynny, mae'r swm yr holl corneli allanol y ffigur a osodir gan y fformiwla:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Bydd swm onglau allanol polygon unrhyw amgrwm bob amser fod yn hafal i 360 ° (waeth beth yw nifer o'i ochr).

cornel Y tu allan polygon amgrwm cael eu cynrychioli ar y cyfan gan y gwahaniaeth rhwng 180 ° a gwerth y ongl fewnol.

Eiddo arall polygon amgrwm

Heblaw am y priodweddau sylfaenol o ddata ffigurau geometrig, mae ganddynt hefyd eraill, sy'n digwydd wrth eu trin. Felly, gall unrhyw un o'r polygonau yn cael ei rannu i mewn i amgrwm lluosog n-gons. I wneud hyn, yn parhau i bob un o'i ochrau a thorri siâp geometrig ar hyd llinellau syth hyn. Rhannwch unrhyw polygon i mewn i sawl rhan amgrwm yn bosibl ac er mwyn i frig pob un o'r darnau gyd-fynd â phob un o'i fertigau. O ffigur geometrig gall fod yn syml iawn i wneud trionglau drwy'r holl croeslinau o un fertig. Felly, mae unrhyw polygon, yn y pen draw, gellir ei rhannu yn nifer penodol o drionglau, sy'n ddefnyddiol iawn wrth ddatrys tasgau amrywiol yn ymwneud â siapiau geometrig fath.

Mae perimedr y polygon amgrwm

Mae rhannau o'r Polylinell, partïon a elwir-polygon, nododd yn aml gyda'r llythrennau canlynol: ab, bc, cd, de, ea. Mae'r ochr ffigwr geometregol gyda fertigau a, b, c, d, e. Gelwir Swm y darnau o'r ochrau polygon amgrwm yn ei berimedr.

Cylchedd y polygon

Gall polygonau amgrwm yn cael ei gofnodi a disgrifio. Cylch tangiad i holl ochrau'r ffigur geometrig, a elwir yn arysgrif i mewn iddo. Gelwir y polygon yn cael ei ddisgrifio. Mae'r cylch ganolfan sy'n cael ei arysgrif yn y polygon yn bwynt o groesffordd bisectors o onglau o fewn roddir siâp geometrig. Mae'r ardal yn y polygon yn hafal i:

S = p * r,

lle mae r - radiws y cylch arysgrif, ac p - semiperimeter polygon hwn.

Mae cylch sy'n cynnwys y fertigau polygon, a elwir disgrifiwyd yn agos iddo. Ar ben hynny, mae hyn yn ffigur geometrig amgrwm o'r enw arysgrif. Mae'r ganolfan cylch, a ddisgrifir am polygon fath yn hyn a elwir yn bwynt croestoriad midperpendiculars bob ochr.

siapiau geometrig amgrwm Lletraws

Mae lletraws polygon amgrwm - segment nad sy'n cysylltu cyfagos fertigau. Mae pob un ohonynt y tu mewn y ffigur geometrig. Mae nifer y lletraws y n-gon wedi ei osod yn ôl y fformiwla:

N = n (n - 3) / 2.

Mae nifer y lletraws polygon amgrwm yn chwarae rhan bwysig mewn geometreg elfennol. Mae nifer y trionglau (K), a all dorri pob polygon amgrwm, a gyfrifir gan y fformiwla ganlynol:

K = n - 2.

Mae nifer y lletraws polygon amgrwm bob amser yn dibynnu ar nifer y fertigau.

Rhaniad o polygon amgrwm

Mewn rhai achosion, i ddatrys tasgau geometreg angenrheidiol i dorri polygon amgrwm i sawl trionglau gyda croeslinau nad ydynt yn croestorri. Gall hyn broblem ei datrys trwy gael gwared fformiwla benodol.

Diffinio'r broblem: ffoniwch math iawn o rhaniad o amgrwm n-gon i mewn i sawl trionglau gan lletraws sy'n croestorri yn unig ar y fertigau o ffigwr geometrig.

Ateb: Tybiwch fod P1, P2, P3, ..., PN - ben y n-gon. Rhif xn - nifer ei rhaniadau. Ystyried yn ofalus y deillio ffigur geometrig lletraws Pi PN. Mewn unrhyw un o'r rhaniadau rheolaidd P1 PN yn perthyn i triongl penodol P1 Pi PN, lle 1

Gadewch i = 2 yn grŵp o raniadau rheolaidd, bob amser yn cynnwys lletraws P2 PN. Mae nifer y rhaniadau sydd wedi'u cynnwys ynddo, sy'n hafal i nifer y rhaniadau (n-1) -gon P2 P3 P4 ... PN. Mewn geiriau eraill, mae'n hafal i'r xn-1.

Ai fi = 3, yna bydd y rhaniadau grŵp arall a fydd bob amser yn cynnwys P3 P1 lletraws a P3 PN. Mae nifer y rhaniadau cywir sy'n cael eu cynnwys yn y grŵp, bydd cyd-fynd â nifer y rhaniadau (n-2) -gon P3, P4 ... PN. Mewn geiriau eraill, bydd yn cael ei xn-2.

Gadewch i = 4, yna bydd y trionglau ymhlith y rhaniad cywir yn sicr o gynnwys triongl P1 PN P4, a fydd yn ffinio â'r cwadrangl P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... PN. Mae nifer y rhaniadau cywir pedrochr fath hafal X4, ac mae nifer y rhaniadau (n-3) -gon hafal xn-3. Yn seiliedig ar yr uchod, gallwn ddweud bod cyfanswm nifer y rhaniadau rheolaidd sydd wedi'u cynnwys yn y grŵp hwn yn hafal i xn-3 X4. Mae grwpiau eraill, lle i = 4, 5, 6, 7 ... bydd yn cynnwys 4 xn-X5, xn-5 X6, xn-6 ... x7 rhaniadau rheolaidd.

Gadewch i = n-2, mae nifer y rhaniadau cywir mewn grŵp a roddir yn cyd-fynd â nifer y rhaniadau yn y grŵp, y mae i = 2 (mewn geiriau eraill, yn hafal i xn-1).

Ers X1 = X2 = 0, X3 = 1 a X4 = 2, ..., mae nifer y rhaniadau o polygon amgrwm yw:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, xn-X4 + X5 +4 ... + X 5 +4 xn-xn-X 4 + 3 + 2 xn-xn-1.

enghraifft:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + x7 = 132

Mae nifer y rhaniadau cywir croestoriadol fewn un croeslin

Wrth wirio achosion unigol, gellir cymryd yn ganiataol bod y nifer o lletraws o amgrwm n-gon yn hafal i gynnyrch pob rhaniad hwn patrwm siart (n-3).

Mae prawf o dybiaeth hon: Mae'n debyg bod P1n = xn * (n-3), yna mae unrhyw n-gon Gellir rhannu'n (n-2) yw'r triongl. Yn yr achos hwn gall un ohonynt yn cael eu pentyrru (n-3) -chetyrehugolnik. Ar yr un pryd, mae pob cwadrangl yn lletraws. Gan fod y ffigur geometrig amgrwm gall dau croeslin yn cael ei wneud, sy'n golygu bod mewn unrhyw (n-3) Gall -chetyrehugolnikah gynnal ychwanegol lletraws (n-3). Ar y sail hon, gallwn ddod i'r casgliad bod ar unrhyw rhaniad priodol yn cael cyfle i (n-3) Cyfarfod -diagonali gofynion y dasg hon.

Ardal polygonau amgrwm

Yn aml, wrth ddatrys problemau amrywiol o geometreg elfennol, mae angen i benderfynu arwynebedd polygon amgrwm. Tybiwch fod (Xi. Unicode block name), fi = 1,2,3 ... n cynrychioli dilyniant o gyfesurynnau holl fertigau cyfagos y polygon, heb unrhyw hunan-groesffyrdd. Yn yr achos hwn, mae ei ardal yn cael ei gyfrifo gan y fformiwla ganlynol:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{ff +} Y _i + _1)),

wherein (X _1, Y _{1) = (X n +1, Y} n + _1).