Cylch Euler. Cylchoedd Euler - enghreifftiau mewn rhesymeg

Leonard Euler (1707-1783) - gwnaeth mathemategydd Swistir a Rwsia enwog, aelod o Academi y Gwyddorau Petersburg, dreulio'r rhan fwyaf o'i fywyd yn Rwsia. Y dadansoddiad mathemategol mwyaf enwog , ystadegau, hysbyseg a rhesymeg yw cylch Euler (diagram Euler-Venn), a ddefnyddir i ddynodi cwmpas cysyniadau a setiau o elfennau.

Mae John Venn (1834-1923) yn athronydd yn Lloegr ac yn logigydd, cyd-awdur y diagram Euler-Venn.

Cysyniadau cydnaws ac anghydnaws

Mae cysyniad mewn rhesymeg yn golygu ffurf o feddwl sy'n adlewyrchu nodweddion hanfodol dosbarth o wrthrychau homogenaidd. Fe'u dynodir gan un neu grŵp o eiriau: "map y byd", "quintuptakkord dominant", "Dydd Llun", ac ati.

Yn yr achos pan fo elfennau cyfaint un cysyniad yn perthyn yn llawn neu'n rhannol â chyfaint y llall, maent yn siarad am gysyniadau cydnaws. Os nad oes unrhyw elfen o gyfaint cysyniad penodol yn perthyn i gyfaint y llall, mae gennym le gyda chysyniadau anghydnaws.

Yn ei dro, mae gan bob un o'r mathau o gysyniadau ei set ei hun o berthnasoedd posibl. Ar gyfer cysyniadau cydnaws dyma'r canlynol:

• Hunaniaeth (cywerthedd) cyfrolau;
• Rhyngwyneb (cyd-ddigwyddiad rhannol) o gyfrolau;
• Is-drefniadaeth.

Am anghydnaws:

• Is-gyfarwyddiaeth (cydlynu);
• Cyferbyniad (cyferbyniad);
• Gwrthddweud.

Yn gryno, mae'r berthynas rhwng cysyniadau mewn rhesymeg fel arfer yn cael ei ddynodi gan gylchoedd Euler-Venn.

Cysylltiadau cyfartaledd

Yn yr achos hwn, mae'r cysyniadau yn golygu yr un peth. Yn unol â hynny, mae cyfrolau y cysyniadau hyn yn cyd-fynd yn llwyr. Er enghraifft:

A - Sigmund Freud;

B - sylfaenydd seico-wahaniaethu.

Naill ai:

Mae A yn sgwâr;

B yw petryal hafalochrog;

Mae C yn rhombws cydymffurfiol.

Ar gyfer y dynodiad, defnyddir y cyllau Euler yn gyd-fynd yn llwyr.

Rhyngwyneb (cyd-ddigwyddiad rhannol)

Mae'r categori hwn yn cynnwys cysyniadau sydd ag elfennau cyffredin sy'n gysylltiedig â chroesi. Hynny yw, mae nifer un o'r cysyniadau yn cael ei gynnwys yn rhannol yng nghwmpas y llall:

A - yr athro;

Mae B yn gariad cerddoriaeth.

Fel y gwelir o'r enghraifft hon, mae cwmpas y cysyniadau'n gorgyffwrdd: gall grŵp penodol o athrawon droi'n gariadon cerddoriaeth, ac i'r gwrthwyneb - gall cynrychiolwyr y proffesiwn pedagogaidd fod ymhlith y rhai sy'n hoff o gerddoriaeth. Bydd perthynas debyg yn yr achos pan ymddengys y "dinesydd" fel y cysyniad A, a'r "autoconductor" fel B.

Is-drefniadaeth

Dyluniwyd yn gynlluniol fel cylchedau Euler ar raddfa wahanol. Nodweddir y berthynas rhwng cysyniadau yn yr achos hwn gan y ffaith bod yr is-gysyniad (llai o ran cwmpas) yn rhan lawn o'r isradd (mwy o faint). Yn yr achos hwn, nid yw'r is-gysyniad yn cwtogi'n llawn yr isradd.

Er enghraifft:

Mae A yn goeden;

B - pinwydd.

Bydd cysyniad B yn is na'r cysyniad o A. Gan fod pinwydd yn cyfeirio at goed, mae'r cysyniad A yn dod yn yr enghraifft hon yn israddol, yn "amsugno" cwmpas cysyniad B.

Is-gyfarwyddiad (cydlynu)

Mae'r berthynas yn nodweddu dau neu fwy o gysyniadau sy'n eithrio ei gilydd, ond yn perthyn i gylch cyffredinol cyffredin penodol. Er enghraifft:

A - clarinét;

B - gitâr;

C - ffidil;

Mae D yn offeryn cerddorol.

Nid yw'r cysyniadau A, B, C yn cyd-fynd â'i gilydd, serch hynny, maent i gyd yn perthyn i'r categori offerynnau cerdd (cysyniad D).

Cyferbyniad (Cyferbyniad)

Ymhlith y cysylltiadau rhwng y cysyniadau mae hyn yn awgrymu priodoli'r cysyniadau hyn i'r un genws. Yn yr achos hwn, mae gan un o'r cysyniadau rai nodweddion (nodweddion), tra bod y llall yn eu gwadu, gan ddisodli'r gwrthwyneb yn gymeriad. Felly, yr ydym yn delio ag antonyms. Er enghraifft:

A - y dwarf;

Mae B yn enfawr.

Rhennir cylch Euler, gyda'r berthynas gyferbyn rhwng cysyniadau, yn dri rhaniad, y mae'r cyntaf yn cyfateb i'r cysyniad o A, yr ail i'r cysyniad o B, a'r trydydd i bob cysyniad posibl arall.

Gwrthddweud

Yn yr achos hwn, mae'r ddau gysyniad yn rhywogaethau o'r un genws. Fel yn yr enghraifft flaenorol, mae un o'r cysyniadau'n dynodi rhai nodweddion (nodweddion), tra bod y llall yn eu gwadu. Fodd bynnag, yn wahanol i berthynas y gwrthwyneb, nid yw'r ail, y cysyniad gyferbyn, yn disodli eiddo negyddol gan eraill, amgen. Er enghraifft:

Mae A yn broblem gymhleth;

Mae B yn dasg syml (nid-A).

Gan fynegi cwmpas cysyniadau o'r math hwn, rhannir cylch Euler yn ddwy ran - nid yw'r drydedd, cyswllt canolraddol yn yr achos hwn yn bodoli. Felly, mae cysyniadau hefyd yn antonyms. Yn yr achos hwn, mae un ohonynt (A) yn dod yn gadarnhaol (gan gadarnhau rhywfaint o briodoldeb), a'r ail (B neu beidio-A) - negyddol (gwadu'r arwydd cyfatebol): "papur gwyn" - "nid papur gwyn", "hanes domestig" - "hanes tramor", ac ati

Felly, mae cymhareb nifer y cysyniadau mewn perthynas â'i gilydd yn nodwedd allweddol sy'n pennu'r cylchoedd Euler.

Cysylltiadau rhwng setiau

Hefyd, mae angen gwahaniaethu cysyniadau elfennau a setiau, y mae eu cyfaint yn adlewyrchu cyllerau'r Euler. Mae'r syniad o set wedi'i fenthyca o wyddoniaeth fathemategol ac mae ganddi ystyr braidd eang. Mae enghreifftiau mewn rhesymeg a mathemateg yn ei arddangos fel casgliad o wrthrychau. Mae'r gwrthrychau eu hunain yn elfennau o set benodol. "Mae llawer yn llawer, mae'n debyg fel un" (Georg Kantor, sylfaenydd theori set).

Cynhelir dynodiadau setiau mewn priflythrennau: A, B, C, D ..., etc., elfennau o setiau - achos isaf: a, b, c, d ... ac ati. Gall enghreifftiau o'r set fod yn fyfyrwyr yn yr un dosbarth, llyfrau sy'n sefyll Ar silff penodol (neu, er enghraifft, yr holl lyfrau mewn llyfrgell benodol), tudalennau yn y dyddiadur, aeron mewn llafn coedwig, ac ati.

Yn ei dro, os nad yw set benodol yn cynnwys unrhyw elfennau, fe'i gelwir yn wag ac wedi'i ddynodi gan arwydd Ø. Er enghraifft, y set o bwyntiau o groesffordd o linellau cyfochrog, y set ateb o'r hafaliad x ² = -5.

Datrys Problemau

I ddatrys nifer fawr o broblemau, defnyddir cyllau Euler yn weithredol. Mae enghreifftiau mewn rhesymeg yn dangos yn glir berthynas gweithrediadau rhesymegol i osod theori. Yn yr achos hwn, defnyddir tablau gwirioneddol o gysyniadau. Er enghraifft, mae'r cylch a nodir gan yr enw A yn faes gwirionedd. Felly, bydd yr ardal y tu allan i'r cylch yn gelwydd. Er mwyn pennu ardal y diagram ar gyfer gweithrediad rhesymegol, mae angen cysgodi'r ardaloedd sy'n diffinio'r cylch Euler lle mae ei werthoedd ar gyfer elfennau A a B yn wir.

Mae'r defnydd o gylchoedd Euler wedi canfod cymhwysiad ymarferol eang mewn gwahanol ganghennau. Er enghraifft, mewn sefyllfa gyda dewis proffesiynol. Os yw'r pwnc yn destun pryder wrth ddewis proffesiwn yn y dyfodol, gellir ei arwain gan y meini prawf canlynol:

W - beth ydw i'n hoffi ei wneud?

D - beth ydw i'n ei gael?

P - sut alla i wneud arian da?

Rydym yn darlunio hyn ar ffurf diagram: cylchoedd Euler (enghreifftiau mewn rhesymeg yw'r gymhareb groesffordd):

Y canlyniad fydd y proffesiynau hynny a fydd ar groesffordd y tair cylch.

Mae cylchoedd Euler-Venn yn meddiannu lle ar wahân mewn mathemateg (theori set) wrth gyfrifo cyfuniadau ac eiddo. Mae cylchoedd Euler o'r set o elfennau wedi'u hamgáu yn nelwedd y petryal sy'n dynodi'r set gyffredinol (U). Yn hytrach na chylchoedd, gellir defnyddio ffigurau eraill a gaewyd hefyd, ond nid yw hanfod hyn yn newid. Mae'r ffigyrau'n croesi ei gilydd, yn ôl amodau'r broblem (yn yr achos mwyaf cyffredinol). Hefyd, dylid marcio'r ffigurau hyn yn unol â hynny. Gan fod elfennau'r setiau dan ystyriaeth, gall pwyntiau a leolir o fewn gwahanol rannau o'r diagram weithredu. Ar ei sail, mae'n bosibl cysgodi ardaloedd penodol, gan ddynodi setiau newydd eu ffurfio.

Gyda'r rhain yn gosod, mae'n bosib cyflawni'r gweithrediadau mathemategol sylfaenol: ychwanegiad (swm setiau o elfennau), tynnu (gwahaniaeth), lluosi (cynnyrch). Yn ogystal, diolch i ddiagramau Euler-Venn, mae'n bosib cyflawni gweithrediadau o gymharu setiau gan nifer yr elfennau a gynhwysir ynddynt, heb eu cyfrif.